决策树的学习分三步：特征选择、决策树生成和决策树剪枝

一、特征选择

　　特征选择可以用的指标有：信息增益、信息增益率和基尼指数

　　首先要了解什么是信息熵。设样本为D，共有n个类，样本中第k类样本占的比例为p_k(k = 1,2,.....,n)，那么D的信息熵为

H(D) = - Σⁿ_k=1 p_k log₂p_k

　　信息熵反应D的“纯度”,值越小纯度越高。

　　另外还要了解条件熵。设特征A有V个取值，用A对D进行划分，每个取值上样本集记为D^v(v = 1,2,....,V)，那么条件熵H(D|A)为

H(D|A) = Σ^V_v=1 |D^v| H(D^v) / |D| 

　　1、信息增益，又叫做互信息

g(D,A) = H(D) - H(D|A)

　　信息增益表明使用特征A进行划分，可以使“纯度提升多少”。值越大，“纯度提升”越多。

但是信息增益倾向于选择取值较多的特征，比如：有10个样本，特征A有10个取值，每个取值有一个样本，这时分支节点的纯度达到最大，相应的信息增益最大，利用信息增益对特征进行选择，结果更可能选择这样的特征A。但这样的特征无法对新样本进行有效的预测。

2、信息增益率

使用信息增益率，可以对信息增益的这一问题进行校正。

g_ratio(D,A) = g(D,A)/h(A)

其中h(A) = - Σ^V_v=1 (|D^v|/|D|)  log₂(|D^v|/|D|)

需要注意的是，增益率对可取值较少的特征有偏好，所以C4.5算法并不是直接选择增益率最大的特征进行划分，而是先从候选属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择信息增益率最高的。

3、基尼指数

Gini(D) = 1-Σⁿ_k=1pk²

Gini_index(D,A) = Σ^V_v=1 |D^v| Gini(D^v) / |D| 

基尼指数越小越越有利于划分。

二、决策树生成

决策树生成算法比较著名的就是ID3、C4.5以及CART了。其中ID3主要用到特征选择的方法是信息增益、C4.5是信息增益率、CART是基尼指数。

基本算法

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输入：训练集D = {(x₁,y₁),......,(x_m,y_m)}

　　    属性集A = {A₁,......A_d}

过程：TreeGenerate(D,A)

生成节点node；if D中样本全属于同一类别C：    将node标记为C类叶节点    return if A == 空集 or D中样本在A上的取值相同：    将node标记为叶节点，其类别标记为D中样本数最多的类    return从A中选择最优划分属性A*  #使用不同的特征选择方法将得到不同的算法for A*的每个取值a：    为node生成一个分支；令Da为D中在A*上取值为a的样本子集    if Da为空：        将分支节点标记为叶节点，其类别标记为D中样本最多的类        return    else：        以TreeGenerate(Da,A\{A*})为分支节点

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三、决策树剪枝

　　剪枝是决策是学习算法对付“过拟合”的主要手段。下面主要记录两种方法。

　　1、简单方法（见周志华《机器学习》）

从训练集中留出一部分作为验证集，利用余下的数据生成一棵完整的决策树，再自底向上对每一个非叶节点进行：将以该节点为根节点的树杈剪掉，即将该节点替换成叶节点，类标记为样本数最多的类。计算替换前与替换后的验证集精度，如果替换前比替换后验证集精度大，则不剪枝。

2、复杂方法（见李航《统计学习方法》）

　　先定义一个决策树学习的损失函数：

　　设树T有|T|个叶节点，叶节点t上的样本数记为N_t，其中k类的样本的有N_tk个（k = 1,2,...,n），H_t(T)为叶节点t上的熵，损失函数

C_α(T) = Σ^|T|_t=1 N_t H_t(T) +α|T|

　　损失函数的前一项记为C(T)，表示模型对训练数据的预测误差（为什么可以表示预测误差，个人理解：熵表示“纯度”也表示“混乱度”，值越大纯度越低，比如t包括三个白球和三个黑球的熵比六个白球的大，三个白球和三个黑球的t节点的类标不管是白还是黑都有三个被分错，而六个白球都不会被分错）。

　　损失函数的后一项|T|表示模型复杂度（树的叶节点越多树越庞大，相应的越复杂），α≥0可以权衡模型复杂度和训练误差（树越大，训练误差越小，但|T|越大。α越大倾向于寻找复杂度低，训练误差也相对较低的树，α=0意味着只考虑模型与训练数据的拟合程度，不考虑模型复杂度）

　　剪枝，就是在α确定时，选择损失函数最小的模型。

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剪枝算法

输入：生成的树T，参数α

输出：修剪后的子数T_α

（1）计算每个节点的熵

（2）递归地从树的叶节点向上回缩。设一组叶节点回缩到其父节点前后的整棵树记为T_A，T_B，其对应的损失函数值分别为C_α(T_A)，C_α(T_B)，如果C_α(T_A) ≤ C_α(T_B)，则进行剪枝，并将父节点变为新的叶节点。

（3）返回（2），直到不能继续为止，得到损失函数最小的子数T_α。

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 α的确定

自动确定α算法

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输入：生成的树T₀，

输出：最优决策树T_α

（1）设k = 0，T = T₀

（2）设α = +∞

（3）自下而上地对每个内部结点t计算C(T_t)，|T|以及

g(t) = [C(t) - C(T_t)] / [|T_t| - 1]

α = min(α，g(t))

　　其中T_t表示以t为根节点的子树，C(T_t)是对训练数据的预测误差，|T_t|是T_t的叶节点个数。

（4）对g(t) = α的内结点t进行剪枝，并对叶结点t以多数表决法决定其类，得到树T。

（5）k = k+1,α_k=α,T_k = T.

（6）如果T_k不是由根节点及两个叶节点构成的树，则返回步骤（3）；否则令T_k= T_n.

（7）采用交叉验证法在子树序列T₀,......,T_n中选取最优子树T_α

 

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 具体为什么这样做就能选择比较好的α和最优树，以及怎么做交叉检验选取最优树，在李航《统计学习基础》上，贴个图吧

四、关于连续性特征的划分方法，见周志华《机器学习》和李航《统计学习方法》。虽然都是书上搬过来的，码字也很累。。。。写到这吧